La versione originale Di questa storia apparso in Rivista Quanti.
Stando in mezzo a un campo, possiamo facilmente dimenticare che viviamo su un pianeta rotondo. Siamo così piccoli rispetto alla Terra che dal nostro punto di vista sembra piatta.
Il mondo è pieno di forme del genere, che sembrano piatte a una formica che ci vive, anche se potrebbero avere una struttura globale più complicata. I matematici chiamano queste forme varietà. Introdotte da Bernhard Riemann a metà del XIX secolo, le varietà hanno trasformato il modo in cui i matematici pensano allo spazio. Non period più solo un ambiente fisico per altri oggetti matematici, ma piuttosto un oggetto astratto e ben definito che valeva la pena studiare di per sé.
Questa nuova prospettiva ha permesso ai matematici di esplorare rigorosamente gli spazi a dimensione superiore, portando alla nascita della topologia moderna, un campo dedicato allo studio degli spazi matematici come le varietà. Le varietà sono arrivate advert occupare un ruolo centrale anche in campi come la geometria, i sistemi dinamici, l’analisi dei dati e la fisica.
Oggi forniscono ai matematici un vocabolario comune per risolvere tutti i tipi di problemi. Sono fondamentali per la matematica come l’alfabeto lo è per il linguaggio. “Se conosco il cirillico, conosco il russo?” disse Fabrizio Bianchimatematico dell’Università di Pisa in Italia. “No. Ma prova a imparare il russo senza imparare il cirillico.”
Allora cosa sono le varietà e che tipo di vocabolario forniscono?
Idee che prendono forma
Per millenni la geometria ha significato lo studio degli oggetti nello spazio euclideo, lo spazio piatto che vediamo intorno a noi. “Fino al 1800, ‘spazio’ significava ‘spazio fisico’”, ha detto José Ferreirós, filosofo della scienza dell’Università di Siviglia in Spagna, l’analogo di una linea in una dimensione, o di un piano piatto in due dimensioni.
Nello spazio euclideo le cose si comportano come previsto: la distanza più breve tra due punti qualsiasi è una linea retta. La somma degli angoli di un triangolo è pari a 180 gradi. Gli strumenti di calcolo sono affidabili e ben definiti.
Ma all’inizio del XIX secolo, alcuni matematici avevano iniziato a esplorare altri tipi di spazi geometrici, non piatti ma piuttosto curvi come una sfera o una sella. In questi spazi, le linee parallele potrebbero eventualmente intersecarsi. La somma degli angoli di un triangolo potrebbe essere maggiore o minore di 180 gradi. E fare calcoli può diventare molto meno semplice.
La comunità matematica ha lottato per accettare (o addirittura comprendere) questo cambiamento nel pensiero geometrico.
Ma alcuni matematici volevano spingere ulteriormente queste idee. Uno di loro period Bernhard Riemann, un giovane timido che inizialmente aveva programmato di studiare teologia (suo padre period un pastore) prima di essere attratto dalla matematica. Nel 1849 decise di conseguire il dottorato sotto la guida di Carl Friedrich Gauss, che aveva studiato le proprietà intrinseche delle curve e delle superfici, indipendentemente dallo spazio che le circonda.
